目次

キーワード

概要

「濃度」とは、 有限集合で言う所の“集合の元の数”に相当する概念です。 無限集合に対して「元の数」というと少しおかしいので、濃度という言い方をします。

「元の個数」で説明したように、 有限集合 S の場合、 S と「同値」な自然数がただひとつ定まるので、 その自然数によって S の元の数を定義しました。

これに対し、無限集合の元の数は自然数で表すことができないので、 数の概念を拡張する必要があります。 無限集合の濃度を表すための概念として、 「基数」とも呼ばれるものがあります。

この基数の概念を説明するには、 その下準備としてまず、集合の大小、すなわち「順序関係」についての説明が必要になります。 そして次に、自然数の和・積・大小関係を無限集合に対して拡張した「順序数」というものについて説明します。 そして、集合 a の基数、あるいは濃度（cardinality）と言うものを、 a と「同値」な最小の順序数として定義します。

順序集合

集合 a の2つの元の間の「関係」f が以下の条件を満たすとき、f を順序関係（order relation）と言います。

  1. f ⊃ Δa

  2. f ∩ f−1 = Δa

  3. f ∘ f ⊂ f

ただし、 Δa は a × a の対角集合 Δa = { (x, x) | x ∈ a } です。 3行目の f ∘ f は関係の合成を表します。

説明の補足のために具体例を挙げると、 自然数の大小関係 ≦ はこの条件を満たしています。 1. の対角集合を含むというのは、x ≦ y という関係が x = y という関係を含むという意味で、 2. は x ≦ y かつ x ≧ y ⇔ x = y と言う意味です。 3. は x ≦ y かつ y ≦ z ⇒ x ≦ z です。

集合 a と関係 f を合わせて（「順序対」を作って） (a, f) を順序集合（ordered set）と呼びます。 このとき、a は (a, f) の台集合（support）といいます。 順序関係 f が明らかな場合には、 省略して、単に順序集合 a と表すこともあります。

x, y ∈ a に対して、 (x, y) ∈ f のとき、 x ≦f y と表すことにします。 （本来は、図1のように、＜ を少し凹ませたような記号を使いますが、 フォントの都合でこのように整数の大小関係の記号で代用します。 f を書き入れる場所も、本来は演算子の真下ですが、 表示の都合上、右下に表記します。 ちなみに、＜ を凹ませたほうを precedes、＞ の方を succeedes と言ったりするようです。 ）

関係演算子
関係演算子

追記：ページを Unicode にしたらprecedes, succeedes 記号表示できるみたい → ≺, ≻

また、これもここでのみの記法ですが、 x ≦f y かつ x ≠ y のとき、 x <f y で表します。 （本来は、図1の preceding 記号の下に ≠ を書いた記号を使います。）

大小関係以外にも、 任意の集合間の包含関係や、 整数の整除関係（「x が y を割り切る」という関係） も順序関係になります。

整列集合

前節で定義した順序集合は、 「順序関係によって順番に並べられた集合」なわけですが、 必ずしも「綺麗に並べられた集合」にはなりません。 綺麗ではないというのはどういうことかというと、 まあ、実例を挙げてみるなら、 包含関係や整除関係による順序には以下のような問題があります。

まず、包含関係を I で表すと、 {a, b} ≦I{a, b, c} や {b, c} ≦I{a, b, c} などはいいのですが、 {a, b} と {b, c} の間には {b, c} ≦I{a, b} という関係も {a, b} ≦I{b, c} という関係も成り立ちません。 この順序は判別できないことになり、 したがって、 { {a, b}, {b, c}, {a, b, c} } という集合には、包含関係による順序関係を使う限り、 最小値が存在しないことになります。

整数の整除関係に関しても同様で、 整除関係を E で表すと、 1 ≦E 2 ≦E 6 , 1 ≦E 3 ≦E 6 , などは成り立ちますが、 2 と 3 の間には 2 ≦E 3 も 3 ≦E 2 も成り立ちません。

これに対して、 順序集合 (a, f) の 任意の2つの元 x, y に対して、 x ≦f y か x ≧f y の少なくとも一方が成り立つとき、 (a, f) を全順序集合（total ordered set）と呼びます。

全順序集合であっても、 整数全体の集合のように、 （－∞ まで続くいたりして）最小値を持たない集合も存在します。 そこで、順序集合 a の任意の部分集合 s が最小値を持つという条件を考えます。 この条件を満たすとき、 順序集合 a を整列集合（well-orderd set）と呼びます。 整列集合は全順序集合になりますが、 整数全体の集合が反例となっている通り、 その逆は成り立ちません。

順序同型

2つの順序集合 (a, f) , (b, g) が、集合として同値なだけでなく、順序まで含めて同等な関係を持つとき、 2つの順序集合は順序同型であるといいます。

正確には、 a から b への「写像」F: a → b が、 任意の x, y ∈ a に対して、

x ≦f y ⇒ F(x) ≦g F(y)

を満たすとき、 F を単調写像（monotonous mapping）といいます。 さらに、もし F が「全単写」ならば、 F を順序同型写像（order isomorphism）といい、 (a, f) と (b, g) は順序同型（order isomorphic）であるといいます。

順序数

「自然数」で説明した通り、 「自然数」は、

1 = {0}
2 = {0, 1 }
3 = { 0, 1, 2 }
4 = { 0, 1, 2, 3 }

などという形で表されます。 見ての通り、任意の自然数 n は、 n より小さい全ての自然数を含む集合です。

これを一般化して、 「整列集合」 (a, f) の任意の元 x が x 以下の元を全て含む、すなわち、 s(x) = { y ∈ a | y <f x } と置いて、

x = s(x)

た成り立つとき、 (a, f) を順序数（ordinal number）と言います。

整列集合 (a, f) があるとき、 (a, f) と順序同型な順序数 α がただ1つ定まります。 この順序数を α = ord(a, f) あるいは単に α = ord a で書き表し、 a の順序数と呼びます。

あるいは、 ord a は順序型（order type）とも呼ばれます。 すなわち、 2つの整列集合が順序同型なとき、 2つは同じ順序型を持つといい、 その「型」を ord a という記号で表すわけです。

さて、この順序数というものには、 次節以降で述べる方法で和、積、順序関係を定義できます。 少々複雑ですが、 要点だけ先に述べてしまうと、以下のような集合が作れるということです。

  • 自然数の和・積・大小関係を、無限集合に対して自然に拡張したものになっている。

  • 順序数が有限集合の場合、その演算・関係は自然数のものと一致する。

  • 無限集合の場合、積の交換法則は成り立たず、和と積の間の分配法則も成り立たない。

順序数の和

2つの順序集合 (a, f) , (b, g) を考えます。 これらの「台集合」a, b に対して、

a ⊕ b = a × {0} ∪ b × { 1 }

（ただし、⊕ という記号は「直和」を表すものです。 また、× は「直積」を表します。） という集合を作ると、 a, b それぞれの元が何であれ、 別々の元だとみなして直和を取ったものを作れます。

この直和集合に対してさらに、 （x, y ∈ a ∪ b, m, n ∈ 2 として、）

(x, m) ≦ (y, n) ⇔ [ m < n ∨ ( m = n = 0 ∧ x ≦f y ) ∨ ( m = n = 1 ∧ x ≦g y ) ]

という順序関係 ≦ を導入すると、 (a, f) , (b, g) が共に整列集合ならば、 (a ⊕ b, ≦) も整列集合になります。

この整列集合を使って、 順序数 α = ord a , β = ord b の和を

α ⊕ β = ord(a ⊕ b)

で定義します。

a, b が自然数の場合、 この定義は自然数の和に一致します。 また、順序数 α が無限集合ならば、 0 以外の任意の自然数 n に対して n ⊕ α = α が成り立ちます。

順序数の積

同じく2つの整列集合 (a, f) , (b, g) に対し、今度はその「直積」を考えます。 直積 a × b の元 (x, z) , (y, w) に対して、 逆辞書式順序と呼ばれる

(x, z) ≦ (y, w) ⇔ [ z ≦g w ∨ ( z = w ∧ x ≦f y ) ]

という順序関係を導入すると、 この直積集合も整列集合になります。

この整列集合を使って、 順序数 α = ord a , β = ord b の積を

α ⊗ β = ord(a × b)

で定義します。

a, b が自然数の場合、 この定義は自然数の和に一致し、交換法則もなりたちます。

しかしながら、 一般的には順序数の積は交換法則を満たしません。 例えば、詳しい説明は省略しますが、 ω ⊗ 2 > ω という関係は成り立ちますが、 その逆は 2 ⊗ ω = ω であり、 ω ⊗ 2 ≠ 2 ⊗ ω になります。 また、⊕ と ⊗ の間には分配法則も成り立ちません。

基数

有限集合の場合、元の数が等しければ互いに同値でした。 ある集合と同値な自然数があればそれを元の数と呼びます。 これに習って、無限集合の場合、 集合と同値な順序数をもって元の数（の拡張概念）としたい所なのですが、 1つ問題があります。

「順序数」の説明で述べましたが、 順序数の大小関係としては、 ω ⊗ 2 > 2 ⊗ ω = ω という関係が成り立ちます。 しかしながら、集合の同値関係としては、（同値を ～ で表すと） ω ⊗ 2 ∼ 2 ⊗ ω ∼ ω が成り立ちます。 この例からも分かるように、 ある集合と同値な順序数というのは1つに確定しません。

しかしながら、 証明は省きますが、 ある集合 aと同値な順序数の中で最小の順序数ならばただ1つ確定します。 そして、このような順序数を a の基数（cardinal number）と呼び、 |a| または card a で表します。

濃度

「基数」の考え方により、 互いに同値な集合に対してただ1つ定まる「数」が定義されました。 そこで、集合 a の基数を 「互いに同値な集合に共通の基本的な性質」という意味で、 a の濃度（cardinality：基本的な性質）と呼びます。

有限集合の場合には、濃度は元の数に一致します。 それでは、無限集合の場合にはどうなるでしょうか。

可算濃度

自然数 ω は最小の無限集合になります。 この自然数 ω の濃度を可算濃度（countable cardinality）と呼び、 ‭א0 （アレフ0と読みます）で表します。 また、可算濃度を持つ集合を可算無限集合（countable infinite set）と呼びます。

自然数と同型になるような集合は 1, 2, 3, .... と番号を振っていくことが出来るので、 自然数で数え上げることが可能 ＝ 可算（countable）ということです。

余談になりますが、 この記号 ‭א は、 ヘブライ文字の1文字目で、ギリシャ文字のα、ローマンアルファベットの a の元になった文字です。 無限基数の中で小さいものから順に、 ‭א0 , ‭א1 , ‭א2 , ・・・ と表します。 昔は、 無限基数を小さいものから順に、 ヘブライ文字の第 n 文字目で表していました （aleph, beth, gimel, daleth, ・・・）が、 読めないし、写植の上でもなかなか表示できないので、 アレフの右下に添字を付ける今の表記法になりました。

それでは、自然数以外のよく知られた無限集合の濃度はどうなるでしょうか。

    の濃度

自然数 n と自然数全体の集合の直和 ω ⊕ n は互いに同値です。 （可算無限集合に、有限個の元を加えても可算無限集合のまま。） 例えば、以下のような写像を考えると、 ω ⊕ n → ω の全単斜になります。

f(x) = {
x  (x ∈ n)
x + n  (x ∈ ω)

したがって、 可算濃度 ‭א0 は、 任意の自然数 n に対して、

n + ‭א0 = ‭א0

です。

また、 自然数全体の集合 ω と、その直積集合 ω2 = ω×ω の間には、 図2に示すように1対1の関係を作ることが出来ます。

ωとω2の対応
ωとω2の対応

要するに、 f(m, n) =

1
2
(m + n)(m + n + 1 ) + n という写像 f: ω×ω → ω を作ると、 これは ω×ω → ω の全単斜になっています。

したがって、集合としては ω と ω2 は「同値」になり、 これらの濃度は等しくなります。 さらに、 0 以外の任意の自然数 n に対して、 ω と ωn も同値になり、 これらの濃度も等しくなります。

このことから、 可算濃度 ‭א0 は、

‭א0 n = ‭א0

です。

これらの性質は無限集合独特のものです。 有限集合の場合、 真部分集合の濃度は元の集合の濃度よりも小さくなりますし、 直積集合の濃度は元の集合の濃度よりも大きくなりますが、 無限集合の場合にはこれが成り立ちません。

整数の濃度

整数 Z は、 集合的には （同値な集合は互いに等しいものとすると） N ⊂ Z ⊂ N × N になります。 （整数の定義の仕方は「整数」を参照。）

このことと、 N と N × N が同値なことから想像がつくように、 N と Z も同値であることが示せます。 （2つの集合 a, b に対して、 |a| ⊂ |b| ∧ |b| ⊂ |a| ⇒ |b| = |a| という定理がある（Bernstein の定理）。） したがって、整数 Z の濃度も可算濃度になります。

| Z | = | N | = ‭א0
有理数の濃度

整数のときと同じで、 有理数 Q は、 集合的には （同値な集合は互いに等しいものとすると） Z ⊂ Q ⊂ Z × Z になります。 （有理数の定義の仕方は「有理数」を参照。）

さらに、 Z と Z × Z は同値であり、 したがって、有理数 Q の濃度も可算濃度になります。

| Q | = | Z | = ‭א0

無限濃度に関する性質

まず、可算濃度 ‭א0 よりも大きな無限濃度が存在することについて説明します。 （といっても、ところどころ証明は省き、概要説明だけになりますが。）

（有限・無限を問わず） ある集合 a に対して、 その「冪集合」 P (a) の濃度は 2 |a| になります。 そして、証明は省きますが、 a と P (a) の間には全単写が存在しない （＝ 同値にはならない） ので、 |a| < 2 |a| になります。

ここで、a の部分に自然数全体の集合 ω を入れると、 ‭א0 < 2 ‭א0 となり、可算濃度よりも大きな濃度が存在することが分かります。 可算濃度よりも大きな濃度を持つ集合を 非可算集合（uncountable set）と呼びます。 また、この式から、無限濃度がいくらでも作れることが分かります。

証明は省略しますが、 無限濃度に関して、 α を無限濃度、 β を濃度として、 以下の定理が成り立ちます。

  • β ≦ α ⇒ α + β = α

  • 0 < β ≦ α ⇒ αβ = α

  • nを非0の自然数として、 αn = α

  • α < 2α

  • 2 ≦ β ≦ α ⇒ 2α = βα

まとめると、 2 ≦ β ≦ α であるような濃度 β に対し、

α + β = αβ = α < 2α = 3α = ⋯ = βα

となり、 見ての通り、 有限濃度（＝ 自然数）の場合と大きく異なります。

連続濃度

自然数、整数、有理数の濃度はいずれも ‭א0 でした。 しかし、実数の濃度は 2 ‭א0 > ‭א0 になります。 このことは以下のようにして示されます。

「実数の定義」で説明したように、 実数は有理数のコーシー列の零数列による剰余体です。 このことから、 集合的には実数は有利数列 Q ω の部分集合であり、 | R | ≦ 2 ‭א0 が示されます。

R ⊂ Q ω
∴ | R | ≦ | Q ω | = ‭א0 ‭א0 = 2 ‭א0

なので、あとはこの逆 | R | ≧ 2 ‭א0 を示す必要があるわけですが、 そのために、 { 0, 1 } の数列 2ω （ ω → 2 = { 0, 1 } の写像） を考えます。 数列 an ∈ 2ω に対して、 以下のようなものを作ります。

∑
i ∈ ω
ai
3i

分母は 2 より大きい実数ならなんでもいいんですが、 この和は実数の値に収束します。 したがって、 数列全体の集合 2ω は実数の部分集合と同値になり、 | R | ≧ | 2ω | = 2 ‭א0 が示されます。

以上のことから、 | R | = 2 ‭א0 が示されました。 「無限濃度に関する性質」で説明したとおり、 2 ‭א0 > ‭א0 であり、 実数の濃度は可算濃度よりも大きいことになります。 この実数の濃度を連続の濃度あるいは連続体濃度（cardinality of continuum）といい、 ‭א = 2 ‭א0 （添字なしのアレフ）で表します。

連続体仮説

これまでに、 ‭א0 < 2 ‭א0 すなわち、 「可算濃度可算無限」 ＜ 「連続体濃度」 であることを述べました。 ここで1つ別の疑問が生じます。 それは、 ‭א0 と 2 ‭א0 の間に位置する濃度が存在するのかどうかという疑問です。

無限濃度は無数にあり、 また、濃度には順序がありますので、 それを小さい方から ‭א0 , ‭א1 , ‭א2 , ⋯ と添字を付けて表します。 この記法に従うと、 先ほどの疑問は 「 ‭א1 = 2 ‭א0 」 が成り立つかどうかということになります。 この命題を「連続体仮説」と呼びます。 より一般化すると、 任意の自然数 n に対して、 「 ‭אn＋1 = 2 ‭אn 」 が成り立つかどうかという命題になり、 これを「一般連続体仮説」と呼びます。

さて、この疑問に対する答えですが、 実は、 「ZFC公理系」 の範囲では否定も肯定も出来ません。 すなわち、 「ZFC が無矛盾だとすると、それに連続体仮説を加えた公理系も無矛盾」 と 「ZFC が無矛盾だとすると、それに連続体仮説の否定を加えた公理系も無矛盾」 がどちらも証明されています。

更新履歴

ブログ