概要

行列とは何なのかといわれると、いろいろな表現の仕方があるのですが、 大まかに言うと以下の2つになります。

• 行列 ＝ 1次方程式を表現するための便法、数の一般化

• 行列 ＝ 線形写像

行列

まず、行列というのは1次方程式を簡潔に表現するための便法だと考えることができます。 例えば、

というような連立1次方程式を、

と表す。 あるいは、

と置いて、

と表すことができます。

こうすることで、 1変数の場合と同じ記法で他変数の1次方程式を記述できます。 1変数のときに、 a x ＝ y, b y ＝ c ならば a b x ＝ c で、 x ＝ b^－1 a^－1 c と表せるように、 他変数の場合でも行列を用いて、 A x ＝ y, B y ＝ c を x について解いたものを x ＝ B^－1 A^－1 c と表せます。

行列を用いて1変数のときと同じ記法で他変数の場合を表現できるのは、 1次方程式の解だけじゃなくて他にもいろいろなものがあります。 以下に、いくつか例を挙げます。

線形漸化式

1変数のとき、

多変数でも、

線形微分方程式

1変数のとき、

多変数でも、

ただし、行列 A の指数関数 exp(A) は冪級数で定義。

これらの例に示すように、 行列というのは、数というものを多変数・高次元の場合に一般化したものだと考えることができます。

線形写像

行列の持つもう1つの側面として、線形写像という考え方があります。

ベクトルに対して、線形性という性質にのみ着目して、線形空間として抽象化したように、 行列も線形写像として抽象化されます。

前節の説明で、行列というのは、以下のような1次方程式を表現するための便法だと説明しました。

ベクトル・行列を使って表すと、

となりますが、この式は、 「ベクトル x に対して行列を掛けると、別のベクトル y が得られる」 と考えることもできます。 すなわち、行列はベクトル → ベクトルへの変換・写像だとみなせます。

これに対して、 一般の線形空間 → 線形空間の写像で以下の性質を満たすものを線形写像といいます。

U, V は体 K 上の線形空間で、 f は U → V の写像とします。 x, y ∈ U, 　a, b ∈ K のとき、

となるとき、f を U → V の線形写像といいます。

「ベクトルと線形空間」の「基底」で触れましたが、 任意の線形空間は、適当な座標系を与えることで、数ベクトルとして表現可能です。 なので、任意の線形写像は、定義域・値域の両方に適当な座標系を与えることで、 （有限次元ならば）行列として表現可能です。

例えば、文字 t に関する3次多項式は線形空間、 それに対する微分演算は線形写像になりますが、 3次多項式の基底として、{1, t, t², t³} をとるなら、 微分演算

d

dt

は

という行列で表されます。 ただし、行列での表し方は、座標系の取り方に依存しています。 今の例において、基底の取り方をチェビシェフ多項式 {1, t, 2t² － 1, 4t³ － 3t} に変えると、

となりますし、 ルジャンドル多項式 {1, t,

3

2

t² －

1

2

,

5

2

t³ －

3

2

t} に変えると、

となります。

ということで、線形写像 ≒ 行列 と思ってもいいわけですが、 抽象的に定義しておく方が扱える対象が広がって都合がいいので（無限次元も扱えるし）、 抽象化します。 もし必要なら、必要が生じたときに始めて、 その時々に最も適切な座標系を選んで、行列表現を得ます。

座標変換

同じ線形空間上の同じ元でも、座標系の取り方によって異なる数ベクトルで表される。 ある座標系から別の座標系に変換することを座標変換と言う。 座標変換も線形写像になる ＝ 行列で表される。

例として、前節で例示した t に関する3次多項式の座標変換を考えてみましょう。 多項式 a ＋ b t ＋ c t² ＋ d t³ は、 座標系 {1, t, t², t³} を用いるなら、 (a, b, c, d) となります。 一方で、 チェビシェフ多項式を用いた座標系 {1, t, 2t² － 1, 4t³ － 3t} を用いるなら、 (a ＋ 1/2 c, b ＋ 3/4 d, 1/2 c, 1/4 d) となります。

したがって、 {1, t, t², t³} から {1, t, 2t² － 1, 4t³ － 3t} への座標変換は以下のような行列で表現できます。