・素体
体 K の全ての部分体の共通部分を K の素体という。
→ 素体 ＝ 自分自身以外に部分体を持たない体。
・有限体(ガロア体)の性質
位数 … 元の数。
標数 … 単位元 1 を n 回足して 0 となるような最小の n。
そのような n が存在しない場合は標数 0 と定義。
有限体ならば 標数 ＝ 素体の位数。
・有限体は、位数が同じなら互いに同型
同型な体を区別する必要がない場合、位数が決まればただ1つ有限体が確定する。
なので、位数 q だけを指定して、q-元体とよぶ。
有限体は必ず「整数の剰余体の代数拡大体」と同型。
すなわち、有限体の位数は p^n（p素数、n正の整数）という形しかありえない。
記号としては、q-元体を
Fq とか GF(q) で表す。
q ＝ p^n （p は素数。n は正の整数）
（GF はガロア体の意味。これも情報系で好んで使われる。）
- 既約多項式が違っても、素体と既約多項式の次数が同じなら同型。
- 「GF(2)の2次拡大体の2次拡大体」と「GF(2)の4次拡大体」も同型。
ただし、計算機上などでは同型でも既約多項式の違う体を区別するので、
素体 … 位数（素数）を指定
任意の有限体 … 素体と既約多項式を指定
有限な整域は必ず体になる。
有限体は必ず可換になる。
・K-同型写像
同じ素体 K を拡大して得られた2つの拡大体
K1, K2 が体同型なら、
a, b ∈ K
x, y ∈ K1
f : K1 → K2 の同型写像
に対して、
f(ax ＋ by)
＝ f(a)f(x) ＋ f(b)f(y)
＝ a f(x) ＋ b f(y)
になる。
要するに、
- 体として同型
- K 上の線形空間として同型
な写像になる。
このような写像を K-同型写像と呼び、
K1 と K2 は K-同型であるという。
K1 と K2 の位数が同じなら K-同型。
正確には
E1/K1, E2/K2
で、K1 と K2 が同型なら・・・
・有限体は、加法に関しても乗法に関しても巡回群になる。
∀x ∈ GF(p^n) に対して
px ＝ 0
x ^ {p^n － 1} ＝ 1
が成り立つ。
また、
∀x ∈ GF(p) ⊂ GF(p^n) → x ^ {p － 1} ＝ 1
なので、
∃x ∈ GF(p^n) に対して
x ^ {p － 1} ＝ 1
が成り立つ。
ちなみに、px ＝ 0 であることと、
2項定理を使うと、
(x ＋ 1)^p ＝ x^p ＋ 1
が成り立つ。
・有限体の（同型を除いて）一意性を示すにはいくつか下準備が必要。
詳しく説明すると長くなるので、別ページにしてもいいかも。
- 素体は有理数または整数の剰余体（位数が素数 p の p-元体）に同型。
ある体 K にたいして、
整数 Z → K の写像
φ: n → K の単位元を n 回足したもの
を用意すると、φ は Z → K への環準同型
I ＝ ker φ とすると、
剰余環 Z/I は K の部分環 img φ と同型。
したがって、 Z/I は整域になる（体の部分環は整域）。
Z/I が整域になるための必要条件は I が素イデアルになることで、
Z の素イデアルは pZ （p は素数か 0）のみ。
p が素数のとき、Z/I は剰余体 Zp → K の素体は Zp と同型
0のとき、Z/I は Z 自身 → K の素体は有理数 Q（Z を含む最小の体）と同型
- 有限体 ＝ Zp の代数拡大体と同型
有限の素体 ＝ Zp
有限の拡大 ＝ 代数拡大
↓
有限体 ＝ Zp の代数拡大体と同型
- 単純拡大
L/K のとき、
α ∈ L － K（L の元だけど、Kの元ではないもの）を1つ選び、
K にαを加えた体を作ることが出来る。
このように、K に L － K の元αを1つ付け加えた体を作ることを
単純拡大（simple extension）という。
この体を K(α) と書く。
- 代数的・超越的
K を係数とする多項式を K[X] で表す。
L/K で、α ∈ L － K が、
f ∈ K[X] で、f[α]＝0 のものがあるとき、α は代数的（algebraic）
ないとき、α は超越的（transcendental）という。
K にαを加えた体 K(α) は、
α が代数的なとき、K[X]/f[α]K[X] に同型で、有限次拡大になる。
α が超越的なとき、K の有理式体 K(X) に同型で、無限次拡大になる。
拡大次数 [K(α):K] は、
α が代数的なとき有限、
α が超越的なとき無限。
- 代数拡大は代数的元を使った単純拡大を有限回繰り返したもの。
K にαを加えた体を K(α) と書いたのと同様に、
多数の元 α1～αm を加えた体を K(α1, ・・・, αm) と書く。
α1～αm が全て代数的なとき、K(α1, ・・・, αm)/K を代数拡大という。
代数的な元による単純拡大を繰り返したものなので、
m が有限なら
[K(α1, ・・・, αm):K] ＜ ∞
ちなみに、
[L:K] ＜ ∞ ならば、L/K は代数拡大。
（逆は成り立たない。無限個の代数的元を使って代数拡大を行えば、[L:K] ＝ ∞ に。）
- 分解体
E/K と K 上の多項式 f[X] ∈ K[X] があって、
F[X] の根が全て E に含まれるとき、E は f[X] を分解する（E splits f）という。
E が f[X] を分解するような最小の体のとき、
E を f[X] の分解体（splitting field）という。
分解体に関して、いくつか定理があって、
- K 上の多項式 f を1つ定めると、必ず f の分解体が存在する
→
f[X] を既約な部分 p[X] とその残り g[X] に分ける。 f[X] ＝ p[X]g[X]
p は既約なので、L ＝ K[X]/p[X]K[X] という拡大体を作れる。
L 上では f は X － α （α は f の L 上での根）で因数分解可能で、
f[X] ＝ (X － α)h[X] （h の次数は f の次数より小さい）と書ける。
帰納的に、h を L 上で既約な部分と残りにわけ、同様の操作を繰り返すと、
最終的には f を分解する体が得られる。
- E が f ∈ K[X] の分解体のとき、拡大次数 [E:K] は有限（f の次数以下）
→
f の根をα1～αn とすると、f の分解体は K(α1, ・・・, αm)。
α1～αn は代数的なので、[E:K] は有限次。
- 1つの多項式 f を分解する任意の2つの分解体は互いに K-同型
すなわち、1つの多項式から作られる分解体は、同型を除いて一意に定まる。
- L を f ∈ K[X] の分解体とする。
f の次数が n のとき、分解次数 [L:K] ＜ n
- f の形式的微分を f' と書く。
f と f' の共通因子が 1 のとき、f は重根を持たない。
- X^{p^n} － X は重根を持たない。
- 有限体の一意性
- 予備知識
--形式的微分
D(X^n) ＝ n X^{n－1}
で形式的に微分を定義。
実関数の微分と異なり、
Df[X] ＝ 0 でも、f[X] ≠ const。
例： 標数 p の体上で X^p は、D X^p ＝ p X^p{－1} ＝ 0
D(f ＋ g) ＝ Df ＋ Dg
D(fg) ＝ Df g ＋ f Dg
-- 重根
f ∈ K[X] が ∃g ∈ K[X], f[X] ＝ (X － α)^n g[X] とかけるとき、
αを f の重根（repeated root, multiple root）という。
-- f が重根 α を持つ ⇔ α は Df の根にもなる。
D((X － α)^2 g[X])
＝ 2(X － α) g[X] ＋ (X － α)^2 Dg[X]
＝ (X － α){2 g[X] ＋ (X － α) Dg[X]}
逆、
f[X] ＝ (X － α) g[X] と置く
Df ＝ g ＋ (X － α) Dg
Df[α] ＝ 0 のとき、 g[α] ＝ 0 になり、
g[α] ＝ (X － α) h[X] と書けるはずで、
結局、
f[X] ＝ (X － α)^2 h[X] と書ける → α は f の重根。
-- gcd(f, Df) ＝ 1 ⇔ f は重根を持たない。
-- f, g を 体 K 上の多項式、L を K の任意の拡大体とすると、
K 上で gcd(f, g) ＝ d[X] → L 上でも gcd(f, g) ＝ d[X]
K を標数 p の体とする。
α, β ∈ K のとき、
(α ＋ β)^p ＝ α^p ＋ β^p
↑
2項定理と、標数 p の体では、∀α ∈ K に対して pα ＝ 0 なことから。
- 位数 p の体上の多項式
f[X] ＝ X^{p^n} － X
があるとき、
f[X] の分解体の位数は p^n である。
また、任意の位数 p^n の有限体は f[X] の分解体になる。
proof
f[X] ＝ X^{p^n} － X は gcd(f, Df) ＝ 1 なので、重根を持たず、
したがって、f[X] は p^n 個の根を持つ。
なので、f[X] の分解体は少なくとも p^n 個の元を持つ。
この分解体 L のうちで、f[X] の根の集合
E ＝ {α ∈ L | α^{p^n} ＝ α}
は p^n 個の元を持つ集合になる。
α, β ∈ E のとき、
(αβ)^{p^n} ＝ α^{p^n}β^{p^n} ＝ αβ
(α＋β)^{p^n} ＝ α^{p^n}＋β^{p^n} ＝ α＋β
なので、E は加法・乗法ともに閉じていて、体を成している。
したがって、分解体の定義（多項式を分解するような最小の体）から E ＝ L。
なので、f[x] の分解体の位数は p^n。
逆に、L を位数 p^n の体とする。L の乗法群 L* の位数は p^n－1 なので、
L* の元 α は α^{p^n} ＝ α を満たす。
もちろん、零元 0 も 0^{p^n} ＝ 0 を満たすので、L の p^n 個全ての元は
X^{p^n} － X の根になっている。
したがって、位数 p^n の体は X^{p^n} － X を分解する。
＝ 素体 GF(p) の n 次拡大体は位数 p^n なので、
X^{p^n} － X の分解体と同型
分解体の一意性から有限体の一意性が示される。
