論理演算

2013/05/06

キーワード

論理演算
論理回路

概要

「ゲート」では、ディジタル回路の基本となるのは、0か1かを選択する回路（ゲート）だということを説明しました。そして次に必要になるのは、そのゲートを組み合わせて、複雑な回路を設計する手法です。

もちろん、ただやみくもにゲートを並べればいいというものではありません。ディジタル回路の設計には、論理演算という数学的理論を利用します。本節以降では、この論理演算の基礎と、論理演算を使ったディジタル回路設計（論理レベル設計）について説明していきます。

コンピューターの内部では、値はすべて0, 1の2値で表現されます。この2値に対するいくつかの演算を論理演算（logical operation）と呼びます。論理演算は、もともとは命題の真偽に関する演算を表していました。例えば、「AかつBならばCである」というような命題をA∧B→Cという式で表して、真偽に対する演算とみなすものです（このような、論理を数学的に取り扱う学問を数理論理学と呼びます）。

ここで、真と1、偽と0を同じものとみなすことで、0, 1の2値に対する演算と論理演算を同じものだとみなすことができます。（このような背景から、0, 1だけで表現される値を論理値、0, 1に対するいくつかの演算を論理演算と呼び、論理演算の組み合わせで表現される式を論理式と呼びます。）

例えば、「AかつB」というのは、「AもBも真ならば真、さもなければ偽」という真偽値間の演算とみなせます。ここで、真を1、偽を0とみなすことで、0, 1の2値間の演算が得られます。このような演算を論理積と呼びます（図1）。

論理積に加えて、代表的な論理演算に否定と論理和があります。否定、論理積、および、論理和は、英単語を用いてそれぞれNOT, AND, OR演算と呼ぶこともあります。論理演算の記法にはいくつか流儀がありますが、代表的なものを表1に示します。

否定、論理積、および、論理和演算の記法
	否定	論理積	論理和
	NOT A	A AND B	A OR B
読み方	Aの否定、非A	AかつB	AまたはB
代数的記法	Ā	AB	A+B
論理学的記法	¬A	A∧B	A∨B
C言語記法	`!A`	`A & B`	`A \| B`

代数的記法は、整数の加算・乗算と同じ記号を使って論理演算を表すものです。 AB は、いわば掛け算記号の省略で、省略せずに A×B と書いても同じ意味です。

一方、論理学的記法は論理学でよく使われる記法です。 ∧ を wedge（楔型）、∨ を vee （V 字型）と呼んだりもします。

また、プログラミング言語ではキーボードで入力できる記号のみで論理式を表します。 C言語やJava、C#などでは、NOT, AND, OR演算に対してそれぞれ !, &, | の記号（それぞれ、感嘆符、アンパサンド、縦棒）を用います。

Web ページ上での表示の都合で、

それぞれの値がどうなるかを表2に示します。代数的記法は、整数の加算・乗算と同じ記号を使って論理演算を表すものです。

否定、論理積、および、論理和の値
A	B	否定 Ā	論理積 AB	論理和 A+B
0	0	1	0	0
0	1	1	0	1
1	0	0	0	1
1	1	0	1	1

その他、NOT、AND、OR の組み合わせでも実現できますが、特別な記号が割り当てられているいくつかの演算があります。このような演算の記法を表3に、演算結果がどうなるかを表4に示します。

否定論理積、否定論理和、排他的論理和、および、等価演算の記法
	否定論理積	否定論理和	排他的論理和	等価
	A NAND B	A NOR B	A XOR B	A XNOR B
代数的記法	AB	A + B	A ⊕ B	A ≡ B
論理学的記法	¬(A∧B)	¬(A∨B)	¬(A⇔B)	A⇔B
C言語記法	`!(A & B)`	`!(A \| B)`	`A ^ B`	`A == B`